INSTITUCION EDUCATIVA MERCEDES INDACOCHEA LOZANO: ANÁLISIS VECTORIAL

ANÁLISIS VECTORIAL

1. Prueba de diagnóstico.
INDAGANDO CONOCIMIENTOS PREVIOS.
ACTIVIDAD 1.
Desarrolla la siguiente evaluación en tu cuaderno de teoría.

2. Desarrollo del tema.

VECTORES Y MAGNITUDES

Un vector, en matemáticas, es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua (río). La flecha OY, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; la flecha OX, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo.

El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con la flecha OA.

Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.

Recordemos que una magnitud física es aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas. Las medidas de las magnitudes se realizan mediante las unidades de medida, establecidas por el Sistema Internacional de unidades (S. I.), aunque existen otras unidades que se siguen usando por tradición (como el quilate, que se emplea para medir la masa de las piedras preciosas).

Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas.

Así, por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar.

Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos dicen que Daniel corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía. Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores (puntas de flecha).

También podemos explicar las características de las magnitudes vectoriales con el siguiente ejemplo: imaginemos a tres automóviles que se dirigen de Lima con rumbo a Piura, Cuzco y Arequipa, siguiendo la ruta que se indican con las flechas. Cada auto sufre un cambio de posición de Lima a Piura, de Lima a Cuzco y de Lima a Arequipa, y estos cambios de posición implican desplazamiento. En el caso específico de Lima a Arequipa el rumbo estará definido por un segmento de recta orientado que une esos dos puntos. Además, es muy necesario precisar su orientación y su magnitud. Por lo tanto, una cantidad vectorial posee magnitud (valor), dirección (línea de acción), punto de origen (Lima) y sentido (orientación). En consecuencia, los desplazamientos de Lima a Piura, Cuzco y Arequipa son magnitudes vectoriales, que se representan mediante flechas. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades.

TEORÍA VECTORIAL

En general, el término vector puede referirse a:

El concepto físico de vector, se asocia a cualquier magnitud física donde es importante considerar la dirección y el sentido y además las medidas realizadas por diferentes observadores poseen ínter subjetividad, es decir, responden a leyes de transformación tensorial.

En el campo de las ciencias, encontramos en forma frecuente cantidades que tienen dirección y magnitud, tales como el desplazamiento (12 km en dirección norte-sur), la velocidad (45 km/h), la fuerza (300 Newton), etc. para poder trabajar con facilidad con estas cantidades, es necesario conocer nuevos conceptos, como la idea del vector.

VECTOR.

Se denomina así al segmento de recta orientado que se utiliza para representar gráficamente a ciertas magnitudes, como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc., a las cuales se les denomina “Magnitudes Vectoriales”.

La definición de vectores, para el desarrollo del tema, quedará establecida así:

"Los vectores son segmentos de recta dirigidos, que nos permiten representar y estudiar a las magnitudes vectoriales"

Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como OB en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo.

La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

En las ciencias de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

ELEMENTOS DE UN VECTOR.

En principio, podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos.

De esta forma podemos, en un vector, distinguir cuatro elementos fundamentales; éstos son: el punto de aplicación, la intensidad, la dirección y el sentido.

Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres últimos elementos, intensidad, dirección o sentido, los consideraremos distintos, mientras que si sólo se diferencian en el punto de aplicación los consideraremos iguales.

…El punto de aplicación es el punto de origen del segmento: su comienzo, a partir de él empieza el vector. Cuando se refiere a una magnitud medida, el punto de aplicación estará situado en el objeto sobre el que se realiza la medida y se moverá con él. Si medimos la velocidad de un coche, el vector que representa dicha velocidad tendrá su punto de aplicación en el vehículo y se desplazará con él.

…La intensidad, magnitud o módulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa, por lo que habrá de ser proporcional al valor de la magnitud medida. Si un coche se desplaza a 25 km/h y otro a 50 km/h, el vector que representa al segundo tendrá una longitud doble que la del primero. Que dos vectores tengan la misma intensidad no implican que sean el mismo vector, ya que pueden diferir en su dirección o sentido. Así, si dos vehículos se desplazan a 70 km/h, pero uno se dirige hacia Huacho y el otro hacia Ica, aunque los vectores tengan la misma intensidad, tendrán direcciones distintas y, por lo tanto, se tratará de vectores diferentes. La intensidad de un vector se indica con la letra que designa al vector entre barras, igual que el valor absoluto de un número. Así, la intensidad del vector v se denota ¦v¦.

…La dirección de un vector es la línea recta imaginaria sobre la que está dibujado o cualquiera de sus paralelas, es decir, la línea recta a la que pertenece el segmento orientado que representa al vector.

Dos vectores de igual dirección y sentido serán iguales si tienen la misma intensidad y si dos vectores tienen la misma intensidad y son paralelos, aunque no tengan el mismo punto de aplicación, consideramos que son iguales. Así, los tres vectores que aparecen en el dibujo, al ser paralelos y tener la misma intensidad son iguales. De esta forma, un vector dado podemos dibujarlo con su punto de aplicación en el lugar que deseemos, ya que bastará con dibujar una recta paralela al vector en el lugar que queremos y, sobre ella, dibujar el vector.

…El sentido de un vector se encuentra determinado por la punta de flecha. Una recta horizontal puede recorrerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, por lo que tiene dos sentidos. Lo mismo ocurre con todas las rectas y, por tanto, con los vectores. Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina. De esta forma, siempre es posible dibujar dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto. Si además tienen la misma intensidad decimos que son vectores opuestos, ya que se anularían uno a otro.