ANÁLISIS VECTORIAL
1. Prueba de diagnóstico.INDAGANDO CONOCIMIENTOS PREVIOS.
ACTIVIDAD 1.
Desarrolla la siguiente evaluación en tu cuaderno de teoría.
2. Desarrollo del tema.
VECTORES Y MAGNITUDES
Un vector,
en matemáticas, es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al
mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar,
puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. El
uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan
ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para
atravesar una corriente de agua (río). La flecha OY, indica el movimiento de la barca durante un
determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; la
flecha OX, representa la deriva o empuje de la corriente
durante el mismo periodo de tiempo.
El
recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la
corriente, se representa con la flecha OA.
Utilizando
vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el
movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.
.
MAGNITUDES
ESCALARES Y VECTORIALES.
Recordemos
que una magnitud física es aquella propiedad de un cuerpo que puede ser
medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura
son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía,
puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas. Las medidas de
las magnitudes se realizan mediante las unidades de medida, establecidas
por el Sistema Internacional de unidades (S. I.), aunque existen
otras unidades que se siguen usando por tradición (como el quilate, que se
emplea para medir la masa de las piedras preciosas).
Para
muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén
perfectamente definidas.
Así,
por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC,
sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su
masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud
queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar.
Otras
magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si
nos dicen que Daniel corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio.
Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía.
Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman magnitudes
vectoriales, y se representan mediante vectores (puntas de
flecha).
También
podemos explicar las características de las magnitudes vectoriales con el siguiente
ejemplo: imaginemos a tres automóviles que se dirigen de Lima con rumbo a
Piura, Cuzco y Arequipa, siguiendo la ruta que se indican con las flechas. Cada
auto sufre un cambio de posición de Lima
a Piura, de Lima a Cuzco y de Lima a Arequipa, y estos cambios de posición
implican desplazamiento. En el caso específico de Lima a Arequipa el rumbo
estará definido por un segmento de recta orientado que une esos dos puntos.
Además, es muy necesario precisar su orientación y su magnitud. Por lo tanto,
una cantidad vectorial posee magnitud
(valor), dirección (línea de
acción), punto de origen (Lima) y sentido (orientación). En consecuencia,
los desplazamientos de Lima a Piura, Cuzco y Arequipa son magnitudes
vectoriales, que se representan mediante flechas. En este tema estudiaremos los
vectores y sus propiedades.
TEORÍA VECTORIAL
En general, el término
vector puede referirse a:
El concepto físico de vector, se asocia a cualquier
magnitud física donde es importante considerar la dirección y el sentido y
además las medidas realizadas por diferentes observadores poseen ínter
subjetividad, es decir, responden a leyes de transformación tensorial.
En
el campo de las ciencias, encontramos en forma frecuente cantidades que tienen
dirección y magnitud, tales como el desplazamiento (12 km en dirección
norte-sur), la velocidad (45 km/h), la fuerza (300 Newton), etc. para poder
trabajar con facilidad con estas cantidades, es necesario conocer nuevos
conceptos, como la idea del vector.
VECTOR.
Se denomina así al
segmento de recta orientado que se utiliza para representar gráficamente a
ciertas magnitudes, como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc., a las
cuales se les denomina “Magnitudes Vectoriales”.
La definición de vectores, para el desarrollo del
tema, quedará establecida así:
"Los vectores son segmentos de recta dirigidos, que
nos permiten representar y estudiar a las magnitudes vectoriales"
Los vectores se
representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como OB en el
diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto
de aplicación del vector y B su extremo.
La longitud del
segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la
misma que la del vector.
En las ciencias de nuestros días, un
vector es considerado como un conjunto
ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El
análisis vectorial aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de
la ciencia e ingeniería.
ELEMENTOS DE UN VECTOR.
En principio, podemos considerar un
vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos.
De esta forma podemos,
en un vector, distinguir cuatro elementos fundamentales; éstos son: el punto de aplicación, la intensidad, la dirección
y el sentido.
Si dos vectores
se diferencian en cualquiera de los
tres últimos elementos, intensidad, dirección o sentido, los consideraremos distintos,
mientras que si sólo se diferencian en
el punto de aplicación los
consideraremos iguales.
…El punto de
aplicación es el punto de origen del segmento: su comienzo, a partir de él
empieza el vector. Cuando se refiere a una magnitud medida, el punto de
aplicación estará situado en el objeto sobre el que se realiza la medida y se
moverá con él. Si medimos la velocidad de un coche, el vector que representa
dicha velocidad tendrá su punto de aplicación en el vehículo y se desplazará con
él.
…La intensidad, magnitud o módulo de un vector es la longitud del
segmento que lo representa, por lo que habrá de ser proporcional al valor de la
magnitud medida. Si un coche se desplaza a 25 km/h y otro a 50 km/h, el vector
que representa al segundo tendrá una longitud doble que la del primero. Que dos
vectores tengan la misma intensidad no implican que sean el mismo vector, ya
que pueden diferir en su dirección o sentido. Así, si dos vehículos se
desplazan a 70 km/h, pero uno se dirige hacia Huacho y el otro hacia Ica,
aunque los vectores tengan la misma intensidad, tendrán direcciones distintas
y, por lo tanto, se tratará de vectores diferentes. La intensidad de un vector
se indica con la letra que designa al vector entre barras, igual que el valor
absoluto de un número. Así, la intensidad del vector v se denota ¦v¦.
…La dirección de un vector es la línea recta
imaginaria sobre la que está dibujado o cualquiera de sus paralelas, es decir,
la línea recta a la que pertenece el segmento orientado que representa al
vector.
Dos vectores de igual dirección y sentido
serán iguales si tienen la misma intensidad y si dos vectores tienen la misma
intensidad y son paralelos, aunque no tengan el mismo punto de aplicación,
consideramos que son iguales. Así, los tres vectores que aparecen en el dibujo,
al ser paralelos y tener la misma intensidad son iguales. De esta forma, un
vector dado podemos dibujarlo con su punto de aplicación en el lugar que
deseemos, ya que bastará con dibujar una recta paralela al vector en el lugar
que queremos y, sobre ella, dibujar el vector.
…El sentido de un vector se encuentra
determinado por la punta de flecha. Una recta horizontal puede recorrerse de
izquierda a derecha o de derecha a izquierda, por lo que tiene dos sentidos. Lo
mismo ocurre con todas las rectas y, por tanto, con los vectores. Dada una
dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que
termina. De esta forma, siempre es posible dibujar dos vectores con la misma
dirección pero sentido opuesto. Si además tienen la misma intensidad decimos
que son vectores opuestos, ya que se anularían uno a otro.
ACTIVIDAD 2.
Observa, analiza, experimenta y anota los contenidos interactivos que se presentan en la secuencia de interactividades.
ACTIVIDAD 3.
PRÁCTICA 01.
Desarrolla la siguiente actividad práctica empleando papel milimetrado.
SOLUCIONARIO.
TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º A 360º.
PRÁCTICA 02.
Resuelve la práctica y pégala en tu cuaderno.
RESOLVER LA PRÁCTICA 03.
PRÁCTICA 03.
SOLUCIONARIO.
Solo para los que no pudieron resolver los ejercicios de la práctica 3 sobre vectores.
VÍDEOS DE DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES.
PRÁCTICA Nº 04.
Resuelve la práctica 04.
SOLUCIONARIO PRÁCTICA Nº 04
PRÁCTICA 05.
Resuelve la práctica 5 en tu cuaderno de práctica. Gracias.
+ 62, 4 T = 1 + T